Cas 7 - Calcul de métriques dans le réseau#


1. Des indices topologiques décrivant le graphe#

Quelques métriques permettant de qualifier la structure et la connectivité du graphe de haies sont proposées ici.

On appelle ‘sous-réseau’ chaque groupe d’arcs connexes faisant partie de la couche du réseau globale de haies. Un sous-réseau est un donc un agrégat d’arcs connexes (i.e. une composante connexe). Dans cet outil, seuls des indices topologiques globaux sont proposés dans la version actuelle :

  • Nombre d’arêtes \(m\) dans le réseau

  • Nombre de noeuds \(n\) dans le réseau

  • Longueur \(l\) du réseau (en mètres)

  • Nombre cyclomatique \(\mu\) : il correspond au nombre de cycles au sein du réseau et s’exprime par la formule suivante : \(\mu = m-n+p\) avec \(m\) le nombre d’arêtes, \(n\) le nombre de noeuds et \(p\) le nombre de composantes connexes (=1 dans un sous-réseau). Un cycle est un chemin fermé, le chemin étant une succession orientée de sommets et d’arcs. Plus cet indice est élevé et plus le nombre d’itinéraires alternatifs est grand.

  • Indice \(\alpha\) (ou indice de maillage) : il correspond à la proportion des cycles existants par rapport au nombre total possible. La valeur varie de 0 (pas de cycle) à 1 (nombreux cycles, maillage dense). Il est calculé à partir de l’expression suivante : \(\alpha = \mu / \mu_{max} = (m-n+1)/(2n-5)\) pour un graphe planaire.

  • Indice \(\beta\) (ou indice de connectivité simple) : il s’agit du rapport entre le nombre d’arêtes et le nombre de noeuds : \(\beta = m/n\). La valeur varie de 0 (réseau peu connecté) à 1 (présence d’un cycle) ou elle est > 1 (réseau bien connecté). Plus \(\beta\) augmente et plus il y a de liaisons par noeud.

  • Indice \(\gamma\) (ou indice de connectivité maximale) : il s’exprime par la formule suivante : \(\gamma = m / 3(n-2)\). La valeur varie de 0 à 1 (graphe très connecté). Il compare le nombre d’arêtes existantes par rapport au maximum possible dans un graphe planaire.

  • Indice \(\eta\) (ou indice de complexité linéaire) : il correspond à la longueur moyenne d’une arête. Il est calculé par l’expression suivante : \(\eta = l/m\) avec \(l\) la longueur totale du réseau.

  • Indice de détour \(d\) : il compare la distance à vol d’oiseau entre deux points par rapport à la distance parcourue sur le réseau. Il est calculé par l’expression suivante : \(d = d_{directe} / d_{reseau}\) avec \(d_{reseau}\) la distance mesurée dans le graphe et \(d_{directe}\) la distance euclidienne (ligne droite entre les points). Ici, l’indice est calculé pour chaque paire de points. La valeur varie de 0 (détour très élevé par le réseau) à 1 (trajet dans le réseau équivalent au trajet direct).

  • Densité du réseau : il correspond au rapport entre la longueur du réseau et la surface de son emprise englobante.


Ces indices peuvent être utiles pour donner une première idée de la qualité du réseau de haies. Un réseau très fragmenté aura une valeur faible d’indice \(\beta\) et \(\gamma\) (déplacements plus difficiles pour les espèces). Ces valeurs faibles indiqueront que le réseau a une connectivité dégradée par rapport à son potentiel. Un bocage dégradé sera donc caractérisé par des indices \(\beta\), \(\gamma\) et \(alpha\) faibles (haies isolées, discontinues). A contrario, un réseau de haies avec de nombreux cycles (indices \(\alpha\) et \(\mu\) élevés) aura une plus grande résilience en cas de disparition de haies, étant donné la présence de chemins alternatifs. L’indice \(\eta\) peut quant à lui informer indirectement sur la taille du parcellaire agricole (haies longues en cas de grandes parcelles continues). Il dépendera aussi de la définition adoptée pour la représentation cartographique des haies et en particulier de la longueur des trouées prises en compte.

Pour davantage d’informations sur certains indices dans le graphe, on peut se reporter à de la documentation en ligne (ex. C. Ducruet et J.-P. Rodrigue, Graph Theory: Measures and Indices).


Note

Il est important de garder à l’esprit qu’un potentiel de connectivité maximal n’est pas forcément réaliste : l’interconnexion des noeuds impose de nouvelles arêtes dont la matérialisation sur le terrain n’a pas toujours de sens (implanter une haie en diagonale dans une parcelle agricole n’est pas une option simple à mettre en oeuvre !). Il faut donc porter un regard distancié vis-à-vis de ces indices et tenir compte aussi des contraintes du réel.


Pour calculer ces indices topologiques, la démarche est la suivante :

  • Dans le menu de HedgeTools, allez dans : Métriques - Réseau > Connectivité

  • Dans la fenêtre de l’outil, renseignez les paramètres avec :

    • Couche d’arcs (entrée) : la couche ‘arcs_topo’ du fichier ‘pv_topo.gpkg’.

    • Couche de noeuds (entrée) : la couche ‘node_topo’ du fichier ‘pv_topo.gpkg’.

    • Couche de polygones (entrée) : la couche ‘poly_topo’ du fichier ‘pv_topo.gpkg’.

    • Tolérance spatiale (mètres) : il s’agit d’une distance qui permet de considérer que des arcs topologiques sont connectés, même si spatialement, ils sont disjoints et appartiennent à des sous-réseaux différents. Cela permet de tenir d’erreurs liées à la phase d’extraction. Cela permet aussi d’adopter un point de vue fonctionnel de la connectivité et pas uniquement structurel, en prenant en compte la capacité de dispersion des espèces dans le graphe, même si les arêtes sont proches sans être physiquement connectées. Conservez ici la valeur par défaut à 0 (i.e. seule la connectivité structurelle est prise en compte).

    • Couche de connectivité (sortie) : couche d’arcs en sortie enrichie des indices topologiques décrivant chaque sous-réseau dans la table attributaire en plus d’un identifiant d’appartenance au sous-réseau ‘network_id’. Enregistrez cette couche dans un nouveau geopackage ‘pv_topo_reseau.gpkg’ avec comme nom de couche ‘arcs_topo_reseau’.


Ensemble des sous-réseaux du graphe de haies.


Illustration des métriques topologiques et de l'impact du paramètre de tolérance spatiale.


2. Calcul d’une distance ‘réseau’ à la forêt#

Dans les métriques de contexte, nous avons calculé pour chaque noeud une distance à la forêt la plus proche. Il s’agissait d’une distance à vol d’oiseau (distance euclidienne) sans passer par le graphe. Ici, l’outil calcul aussi la distance à la forêt la plus proche mais cette fois, en passant par les sous-réseaux. La distance est enregistrée dans un nouveau champ de la table des noeuds en entrée, en plus de l’identifiant de chaque forêt concernée.


  • Dans le menu de HedgeTools, allez dans : Métriques - Réseau > Distance réseau à la forêt

  • Dans la fenêtre de l’outil, renseignez les paramètres avec :

    • Couche de polygones (entrée) : la couche ‘poly_topo’ du fichier ‘pv_topo.gpkg’.

    • Couche d’arcs (entrée) : la couche ‘arcs_topo’ du fichier ‘pv_topo.gpkg’.

    • Couche de noeuds (entrée) : la couche ‘node_topo’ du fichier ‘pv_topo.gpkg’.

    • Champ ID de la forêt (entrée) : choisissez le champ ‘pid’.

    • Tolérance spatiale (mètres) : il s’agit d’une distance qui permet de considérer que des arcs topologiques sont connectés, même si spatialement, ils sont disjoints et appartiennent à des sous-réseaux différents. Cela permet donc de calculer la distance à la forêt la plus proche en passant par plusieurs sous-réseaux non connexes mais fonctionnellement connectés. Conservez ici la valeur par défaut à 0 (i.e. seule la connectivité structurelle est prise en compte).

    • Couche distance réseau (sortie) : couche d’arcs en sortie enrichie de deux champs dans la table attributaire : un identifiant d’appartenance au sous-réseau ‘network_id’ et la tolérance spatiale. Enregistrez cette couche dans un nouveau geopackage ‘pv_topo_reseau.gpkg’ avec comme nom de couche ‘arcs_topo_distReseauForet’.

    • Couche noeud réseau (sortie) : couche de points (noeuds) enrichie d’un attribut indiquant la distance par rapport à la forêt la plus proche ainsi que son identifiant. Enregistrez cette couche dans le geopackage ‘pv_topo_reseau.gpkg’ avec comme nom de couche ‘node_topo_distanceReseauForet’